题目内容
【题目】已知抛物线C的顶点为坐标原点O,对称轴为轴,其准线为
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线,对任意的
抛物线C上都存在四个点到直线l的距离为
,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根据准线方程形式设抛物线标准方程,再根据数值求得,即得抛物线方程;
(2)先根据确定
,再借助切线转化条件,即
,点
到抛物线
切线
距离大于4恒成立,最后根据二次方程实根分布列不等式解得结果.
(1)由题意可设抛物线C的方程:,则
得
,所以
(2)由对任意的抛物线C上都存在四个点到直线l的距离为
,得
,
设与直线平行的直线
,要满足题设条件“对任意的
抛物线C上都有四个点到直线l的距离为
”,
则有当与抛物线
相切时,
点
到
距离大于4恒成立,
由得:
得
点到
距离为
所以不等式
恒成立,
代入 整理得:
,令
,
即在
上恒成立
所以①得
,求得
或②得
所以
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