Question

【题目】已知为上的偶函数，当时，.对于结论

（1）当时，；

（2）函数的零点个数可以为；

（3）若函数在区间上恒为正，则实数的范围是

以上说法正确的序号是______________.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

由函数的奇偶性定义、函数零点个数的判断方法以及函数与方程的转化思想，不等式恒成立问题的解法，对选项逐一判断即可得到结论．

对于（1），f（x）为R上的偶函数，当x＞0时，，

当x＜0时，，故（1）正确；

对于（2），令t＝f（x），则f（t）＝0，因为的值不确定，

若f（0）＝0，由f（t）＝0，可得t＝0或1或﹣1，

由，可得或；由f（x）＝1时，可得x＝﹣2或2；当f（x）＝﹣1时，可得x＝±，此时函数有7个零点；

若f（0）＝1，由f（t）＝0，可得t＝1或﹣1，

由f（x）＝1时，可得x＝﹣2或2或0；当f（x）＝﹣1时，可得x＝±，此时有函数有5个零点；

若f（0）＝－1时，由f（t）＝0，可得t＝1或﹣1，

由f（x）＝1时，可得x＝﹣2或2；当f（x）＝﹣1时，可得x＝±或0，此时有函数有5个零点；

若不等于以上各值，由f（t）＝0，可得t＝1或﹣1，由f（x）＝1时，

可得x＝﹣2或2；当f（x）＝﹣1时，可得x＝±，此时函数有4个零点；

综上，函数的零点个数可为4，5，7，故（2）正确；

对于（3），若函数在区间[1，2]上恒为正，即为 在[1，2]恒成立，

可得在[1，2]恒成立，则当时，，解得或，所求的范围应为的子集，故（3）错．

故答案为：（1）（2）．