Question

在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：y=x²，实数p，q满足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}.
（1）过点A（p₀，p₀）（p₀≠0）作L的切线教y轴于点B。证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有φ（p，q）=；
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a²-4b>0，a≠0。过M（a，b）作L的两条切线l₁，l₂，切点分别为E（p₁，p₁²），E′（p₂，p₂²），l₁，l₂与y轴分别交与F，F'。线段EF上异于两端点的点集记为X。证明：M（a，b）∈X|P₁|＞|P₂|φ（a，b）=；
（3）设D={（x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）²-}，当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值 （记为φ_min）和最大值（记为φ_max）。

Answer 1

解：（1）
直线AB方程为，即
∴
方程的判别式
两根或
∵
∴
又
∴
得
∴。
（2）由知点在抛物线L的下方
①当时，作图可知，若，则，得
若，显然有点
∴
②当时，点在第二象限，作图可知，若，则，且
若，显然有点
∴
根据曲线的对称性可知，当时，
综上所述
由（1）知点M在直线EF上，方程的两根或
同理点M在直线上，方程的两根或
若，则不比，，小
∴
又
∴
又由（1）知
∴
综合（*）式，得证。
（3）联立，得交点，可知
过点作抛物线L的切线，设切点为，则
得，解得
又，即
∴
设
∴
∵
又
∴
∵
∴
∴。