题目内容

(2012•浦东新区一模)如图所示,在平面直角坐标系xOy上放置一个边长为1的正方形PABC,此正方形PABC沿x轴滚动(向左或向右均可),滚动开始时,点P位于原点处,设顶点P(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f(x),x∈R,该函数相邻两个零点之间的距离为m.
(1)写出m的值并求出当0≤x≤m时,点P运动路径的长度l;
(2)写出函数f(x),x∈[4k-2,4k+2],k∈Z的表达式;研究该函数的性质并填写下面表格:
函数性质 结  论
奇偶性
偶函数
偶函数
单调性 递增区间
[4k,4k+2],k∈z
[4k,4k+2],k∈z
递减区间
[4k-2,4k],k∈z
[4k-2,4k],k∈z
零点
x=4k,k∈z
x=4k,k∈z
(3)试讨论方程f(x)=a|x|在区间[-8,8]上根的个数及相应实数a的取值范围.
分析:(1)m即正方形的周长,l由3段
1
4
圆弧构成,其中2段弧所在圆的半径等于1,1段弧所在圆的半径等于
2
,从而
求得l的值.
(2)用分段函数表示函数f(x)的解析式,由此求出递增区间和递减区间,及函数的零点.
(3)易知直线y=ax恒过原点,函数y=f(x),x∈[-8,8]的图象关于y轴对称,分类讨论直线y=ax在每一段上
与y=f(x)的交点的个数,综合可得结论.
解答:解:(1)m即正方形的周长,∴m=4,…(2分)
l由3段
1
4
圆弧构成,其中2段弧所在圆的半径等于1,1段弧所在圆的半径等于
2

故l=2[
1
4
×2π×1]+
1
4
×2π×
2
=(1+
2
2
)π.…(4分)
(2)函数f(x)=
2-(x-4k+2)2
 , 4k-2≤x≤4k-1
1-(x-4k+1)2
, 4k-1≤x≤4k
1-(x-4k-1)2
, 4k≤x≤4k+1
2-(x-4k-2)2
, 4k+1≤x≤4k+2
,k∈z.…(7分)
函数性质 结   论
奇偶性 偶函数
单调性 递增区间 [4k,4k+2],k∈z
递减区间 [4k-2,4k],k∈z
零点 x=4k,k∈z
…(10分)
(3)f(x)=a|x|在区间[-8,8]删的根的个数即为函数f(x)的图象和直线y=a|x|的交点个数,
(i)易知直线y=ax恒过原点;
当直线y=ax过点(1,1)时,a=1,此时点(2,0)到直线y=x的距离为
2

直线y=x与曲线 y=
2-(x-2)2
,x∈[1,3]相切.
当x≥3时,y=x恒在曲线y=f(x)之上.
(ii)当直线y=ax与曲线 y=
2-(x-6)2
,x∈[5,7]相切时,由点(6,0)到直线y=ax
的距离为
2
,a=
1
17
,此时点(5,0)到直线 y=
1
17
x的距离为
5
18

直线y=
1
17
x与曲线y=
1-(x-5)2
,x∈[4,5]相离.
(iii)当直线y=ax与曲线 y=
1-(x-5)2
,x∈[4,5]相切时,由点(5,0)到直线 y=ax
的距离为1,a=
1
24
=
6
12
,此时点(6,0)到直线y=
1
24
x的距离为
6
25
2

直线y=
1
24
x与曲线 y=
2-(x-6)2
,x∈[5,7]相交于两个点.
(ⅳ)当直线y=ax过点(5,1)时,a=
1
5
,此时点(5,0)到直线y=
1
5
x的距离为
5
26
<1,直线y=
1
5
x与曲线 y=
1-(x-5)2
,x∈[4,5]相交于两个点.
点(6,0)到直线y=
1
5
x的距离为
6
26
2
,直线y=
1
5
x与曲线y=
2-(x-6)2
,x∈[5,7]相交于两个点.
(ⅴ)当a=0时,直线y=0与曲线y=f(x),x∈[-8,8]有且只有5个交点;
(ⅵ)当a<0时,直线y=ax与曲线y=f(x),x∈[-8,8]有且只有1个交点;
因为函数y=f(x),x∈[-8,8]的图象关于y轴对称,…(14分)
故综上可知:(1)当a<0时,方程 f(x)=a|x|只有1实数根;
(2)当a>
17
17
时,方程f(x)=a|x|有3个实数根;
(3)当a=
17
17
,或a=0时,方程f(x)=a|x|有5个实数根;
(4)当 0<a<
1
5
6
12
<a<
17
17
时,方程f(x)=a|x|有7个实数根;
(5)当a=
6
12
时,方程f(x)=a|x|有9个实数根;
(6)当a=
1
5
,方程f(x)=a|x|有2个实数根;
(7)当
1
5
<a<
6
12
时,方程f(x)=a|x|有11个实数根.…(18分)
点评:本题主要考查分段函数的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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