Question

7．已知抛物线的方程为C：x²=4y，过点Q（0，2）的一条直线与抛物线C交于A，B两点，若抛物线在A，B两点的切线交于点P．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设直线PQ与直线AB的夹角为α，求α的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及导数的几何意义，分别求得切线方程，联立即可求得点P的轨迹方程；
（2）分类讨论，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得tanα取值范围，即可求得α的取值范围．

解答 解：（1）由AB直线与抛物线交于两点可知，直线AB不与x轴垂直，故可设l_AB：y=kx+2，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，整理得：x²-4ky-8=0…①，
△=16k²+32＞0，故k∈R时均满足题目要求．
设交点坐标为$A（{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{4}），B（{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{4}）$，则x₁，x₂为方程①的两根，
故由韦达定理可知，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8．
将抛物线方程转化为$y=\frac{1}{4}{x^2}$，则$y'=\frac{1}{2}x$，故A点处的切线方程为$y-\frac{{{x_1}^2}}{4}=\frac{x_1}{2}（x-{x_1}）$，
整理得$y=\frac{x_1}{2}x-\frac{{{x_1}^2}}{4}$，
同理可得，B点处的切线方程为$y=\frac{x_2}{2}x-\frac{{{x_2}^2}}{4}$，记两条切线的交点P（x_p，y_p），
联立两条切线的方程，解得点P坐标为${x_P}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=2k，{y_P}=k{x_1}-\frac{{{x_1}^2}}{4}=k{x_1}-（k{x_1}+2）=-2$，
故点P的轨迹方程为y=-2，x∈R
（2）当k=0时，x_P=0，y_P=-2，此时直线PQ即为y轴，与直线AB的夹角为$\frac{π}{2}$．
当k≠0时，记直线PQ的斜率${k_{PQ}}=\frac{-2-2}{2k-0}=-\frac{2}{k}$，
又由于直线AB的斜率为k，且已知直线AB与直线PQ所夹角α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
tanα=丨$\frac{{k}_{PQ}-{k}_{AB}}{1+{k}_{PQ}•{k}_{AB}}$丨=丨$\frac{-\frac{2}{k}-k}{1-2}$丨=$\frac{2}{丨k丨}$+丨k丨≥2$\sqrt{2}$，
则a∈[arctan2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$）
综上所述，α的取值范围是∈[arctan2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$]．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查导数的几何意义，利用导数求切线方程，基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．