题目内容
5．2016年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某网站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：| 上春晚次数x（单位：次） | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 粉丝数量y（单位：万人） | 15 | 25 | 50 | 70 | 90 |
（Ⅱ）根据以上数据分析，估计该演员上春晚12次时的粉丝数量．
分析 （I）根据数据计算线性回归系数，得出回归方程；
（II）把x=12代入回归方程计算$\stackrel{∧}{y}$．
解答 解：（I）$\overline x=\frac{1}{5}（2+4+6+8+10）=6$，$\overline y=\frac{1}{5}（15+25+50+70+90）=50$，
$\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=1890$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=220$，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{1890-5×6×50}{220-5×{6}^{2}}$=9.75，$\stackrel{∧}{a}$=50-9.75×6=-8.5．
因此回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=9.75x-8.5．
（II）当x=12时，$\stackrel{∧}{y}$=9.75×12-8.5=108.5
∴该演员上春晚12次时的粉丝数约为108.5万人．
点评 本题考查了线性回归方程的求解及利用回归方程进行预测，属于中档题．
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| A． | 5海里 | B． | $5\sqrt{3}$海里 | C． | 10海里 | D． | $10\sqrt{3}$海里 |
16．已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=$\frac{1}{2}$x+2，则函数g（x）=xf（x）在点N（1，g（1））处的切线方程为（ ）
| A． | 6x-2y-1=0 | B． | 3x-2y+2=0 | C． | 3x+y-5=0 | D． | 6x-y-1=0 |
13．通过市场调查，得到某种产品的资金投入x（万元）与获得的利润y（万元）的数据，如表所示：
（Ⅰ）画出数据对应的散点图；
（Ⅱ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a；
（Ⅲ）现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？
（参考公式：$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{∧}{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（x-\overline{x}）^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\stackrel{∧}{a}=\stackrel{∧}{y}-b\stackrel{∧}{x}}\end{array}\right.$）
| 资金投入x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 利润y | 2 | 3 | 5 | 6 | 9 |
（Ⅱ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a；
（Ⅲ）现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？
（参考公式：$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{∧}{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（x-\overline{x}）^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\stackrel{∧}{a}=\stackrel{∧}{y}-b\stackrel{∧}{x}}\end{array}\right.$）
10．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）
（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
附表及公式：
K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
| 几何题 | 代数题 | 总计 | |
| 男同学 | 22 | 8 | 30 |
| 女同学 | 8 | 12 | 20 |
| 总计 | 30 | 20 | 50 |
（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
附表及公式：
| P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
17．如表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（Ⅱ）根据（1）求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？
（参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，参考数值：2×5+4×6+6×5+8×9+10×10=236）
| x | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| y | 5 | 6 | 5 | 9 | 10 |
（Ⅱ）根据（1）求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？
（参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，参考数值：2×5+4×6+6×5+8×9+10×10=236）
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