Question

13．通过市场调查，得到某种产品的资金投入x（万元）与获得的利润y（万元）的数据，如表所示：

资金投入x	2	3	4	5	6
利润y	2	3	5	6	9

（Ⅰ）画出数据对应的散点图；
（Ⅱ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a；
（Ⅲ）现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？
（参考公式：$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{∧}{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（x-\overline{x}）^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\stackrel{∧}{a}=\stackrel{∧}{y}-b\stackrel{∧}{x}}\end{array}\right.$）

Answer 1

分析 （1）分别以x，y为横纵坐标描点；
（2）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（3）把x=10代入回归方程计算$\stackrel{∧}{y}$．

解答 解：（1）作出散点图如下：

（2）$\overline{x}$=$\frac{2+3+4+5+6}{5}$=4，$\overline{y}$=$\frac{2+3+5+6+9}{5}$=5．
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=2×2+3×3+4×5+5×6+6×9=117，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=2²+3²+4²+5²+6²=90．
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{117-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.7，$\stackrel{∧}{a}$=5-1.7×4=-1.8．
∴线性回归方程为：$\stackrel{∧}{y}$=1.7x-1.8．
（3）当x=10时，$\stackrel{∧}{y}$=1.7×10-1.8=15.2（万元）．
∴当投入资金10万元，获得利润的估计值为15.2万元．

点评 本题考查了线性回归方程的求解，数值估计，属于基础题．