Question

10．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
附表及公式：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）计算K²，对照附表做结论；
（2）作出甲，乙两人解答时间的平面区域，找出乙比甲早做完对于的区域，则区域面积的比值即为所求概率；
（3）使用组合数公式和古典概型的概率计算公式分别计算X取不同值时的概率，得到X的分布列，求出数学期望．

解答 解：（1）由表中数据得K²的观测值K²=$\frac{50（22×12-8×8）^{2}}{30×20×30×20}$=$\frac{50}{9}≈5.556$＞5.024．
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．
（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x，y分钟，
则基本事件满足的区域为$\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤7}\\{6≤y≤8}\end{array}\right.$（如图所示）．

设事件A为“乙比甲先做完此道题”
则满足的区域为x＞y．
∴P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×1×1}{2×2}$=$\frac{1}{8}$
即乙比甲先解答完的概率为$\frac{1}{8}$．
（3）在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有${C}_{8}^{2}$=28 种，
其中甲、乙两人都不被被抽到有${C}_{6}^{2}$=15种；恰有一人被抽到有${C}_{2}^{1}$•${C}_{6}^{1}$=12种；两人都被抽到有${C}_{2}^{2}$=1种．
X可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{15}{28}$，P（X=1）=$\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$，P（X=2）=$\frac{1}{28}$．
X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{28}$

∴E（X）=0×$\frac{15}{28}$+1×$\frac{3}{7}$+2×$\frac{1}{28}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了独立性检验的统计思想，几何概型的概率计算，离散性随机变量的分布列和数学期望．