Question

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（t，m）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m>0，y₁>0，y₂<0。

（I）设动点P满足PF²-PB²=4，求点P的轨迹；
（Ⅱ）设x₁=2，x₂=，求点T的坐标；
（Ⅲ）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

Answer 1

解：（I）由题设得A（-3，0），B（3，0），F（2，0）
设点P（x，y）
则PF²=（x-2）²+y²，PB²=（x-3）²+y²
由PF²-PB²=4，得（x-2）²+y²+（x-3）²-y²=4
得
故所求点P的轨迹为直线为；

（Ⅱ）由，及得
则点
从而直线AM的方程为
由及得
则点
从而直线BN的方程为
由
解得
所以点T的坐标为；
（Ⅲ）由题设知，直线AT的方程为
直线BT的方程为
点满足

得
因为
则
解得
从而得
点满足
解得
若，则由及
得
此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）；
若，则
直线MD的斜率
得k_MD=k_ND
所以直线MN过D点
因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。