Question

在四棱锥中，//，，，平面，.
（Ⅰ）设平面平面，求证：//；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）证明： 因为//，平面，平面，
所以//平面.                   ………………………………………2分
因为平面，平面平面，
所以//.                          ………………………………………4分
（Ⅱ）证明：因为平面，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，.
………………………………………5分
所以 ，，
，
所以，
.
所以 ，.
因为 ，平面，
平面，
所以 平面.                     
………………………………………9分
（Ⅲ）解：设（其中），，直线与平面所成角为
所以 .
所以 .
所以 即.  
所以 .   ………………………………………11分
由（Ⅱ）知平面的一个法向量为.
………………………………………12分
因为 ，
所以 .
解得 .
所以 .                       ………………………………………14分

略