Question

设函数f(x)=x+的图象为C₁,C₁关于点A(2,1)的对称图形为C₂,C₂对应的函数为g(x).

(1)求函数g(x)的解析式;

(2)若直线y=b与C₂有且仅有一个公共点,求b的值,并求出交点的坐标.

Answer 1

解:(1)设曲线C₂上的任意一点为P(x,y),

则P关于A(2,1)的对称点P′(4-x,2-y)在C₁上,

所以2-y=4-x+,

即y=x-2+=,

所以g(x)=(x≠4).

(2)由=b⇒(x-3)²=b(x-4)(x≠4).

所以x²-(b+6)x+4b+9=0(x≠4)(*)有唯一实根.

由Δ=[-(b+6)]²-4(4b+9)=b²-4b=0⇒b=0或b=4,

把b=0代入(*)式得x=3,

把b=4代入(*)式得x=5;

∴当b=0或b=4时,直线y=b与C₂有且仅有一个公共点,且交点的坐标为(3,0)和(5,4).