Question

【题目】已知数列{an}的首项a1= ，an+1= ，n∈N* ．
（1）求证：数列{ ﹣1}为等比数列；
（2）记Sn= + +…+ ，若Sn＜100，求满足条件的最大正整数n的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an+1= ，

∴ = + ，

∴ ，

∵a1= ，

∴ ﹣1= ，

∴ 为以 为首项，以 为公比的等比数列

（2）解：由（1）知 ﹣1= ×（ ）n﹣1，

∴ =2×（ ）n+1，

∴Sn= + +…+ =n+2×（ + +…+ ）=n+2× =n+1﹣ ，

∵Sn＜100，

∴ ，

故nmax=99

【解析】（1）利用数列递推式，变形可得得 ，从而可证数列 为等比数列；（2）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数n．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比关系的确定的相关知识，掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．