题目内容
若P（x0，y0）在椭圆
+
=1上，求过P的椭圆的切线方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：首先根据椭圆的方程
+
=1，求出y的导数；然后求出切线的斜率，即可得出切线的点斜式方程，据此解答即可．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
解答：
解：由
+
=1，
可得y=±
，
所以y′=±
=±
，
所以过P的椭圆的切线的斜率为：±
；
又因为P（x0，y0）在椭圆
+
=1上，
所以
+
=1，
可得a2-x02=
，
所以过P的椭圆的切线的斜率为：±
=
，
所以过P的椭圆的切线方程为：y-y0=
（x-x0），
整理，可得过P的椭圆的切线方程为
+
=1，
即b2x0x+a2y0y-a2b2=0．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
可得y=±
b2-
|
所以y′=±
| ||||
2
|
| bx | ||
a
|
所以过P的椭圆的切线的斜率为：±
| bx0 | ||
a
|
又因为P（x0，y0）在椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
所以
| x02 |
| a2 |
| y02 |
| b2 |
可得a2-x02=
| a2y02 |
| b2 |
所以过P的椭圆的切线的斜率为：±
| bx0 | ||
a
|
| b2x0 |
| a2y0 |
所以过P的椭圆的切线方程为：y-y0=
| b2x0 |
| a2y0 |
整理，可得过P的椭圆的切线方程为
| x0x |
| a2 |
| y0y |
| b2 |
即b2x0x+a2y0y-a2b2=0．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题，解答此题的关键是利用导数求出过P的椭圆的切线的斜率．
练习册系列答案
相关题目