题目内容
若关于x的方程x3-4x2+5x+2a=0有三个实数根x1，x2，x3，那么当max{x1，x2，x3}取得最大值时，实数a的值是 ．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的综合应用
分析：令f（x）=x3-4x2+5x，f′（x）=3x2-8x+5=（3x-5）（x-1），从而得到x∈（-∞，1]∪[
，+∞） 时，f（x）是增函数，x∈（1，
）时，f（x）是减函数，由此得到a∈[-2，-
]．三根中最大的根取得最大值时，有a=-2，x=1是两重根，较大根的最大值是2．
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| 3 |
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解答：
解：令f（x）=x3-4x2+5x，
f′（x）=3x2-8x+5=（3x-5）（x-1），
令f′（x）=0，解得x1=
，x2=1，
从而有x＞
或x＜1时，f′（x）＞0，1＜x＜
时，f′（x）＜0，
∴x∈（-∞，1]∪[
，+∞） 时，f（x）是增函数
x∈（1，
）时，f（x）是减函数，
∵f（1）=2，f（
）=
＜f（1），
这样，如果要 f（x）+a=0，即 f（x）=-a有三个实根，必有
f（
）≤f（x）≤f（1）即
≤-a≤2，
∴-2≤a≤-
，即a∈[-2，-
]，
∵f（1）＞f（
），∴-a=f（1），
三根中最大的根取得最大值，
这时，有a=-2，x=1是两重根，可以解出另一根：
x3-4x2+5x-2=0
（x-1）2（x-2）=0
∴较大根的最大值是2，此时a=-2．
∴max{x1，x2，x3}取得最大值时，实数a的值为-2．
故答案为：-2．
f′（x）=3x2-8x+5=（3x-5）（x-1），
令f′（x）=0，解得x1=
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从而有x＞
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∴x∈（-∞，1]∪[
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x∈（1，
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∵f（1）=2，f（
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这样，如果要 f（x）+a=0，即 f（x）=-a有三个实根，必有
f（
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∴-2≤a≤-
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∵f（1）＞f（
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三根中最大的根取得最大值，
这时，有a=-2，x=1是两重根，可以解出另一根：
x3-4x2+5x-2=0
（x-1）2（x-2）=0
∴较大根的最大值是2，此时a=-2．
∴max{x1，x2，x3}取得最大值时，实数a的值为-2．
故答案为：-2．
点评：本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
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