Question

19．在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（-4，0），且$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{5}{4}$，则△ABC的顶点C的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1（y≠0）．

Answer 1

分析 由$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{5}{4}$，可得CA+CB=$\frac{5}{4}$AB，利用A（4，0）、B（-4，0），CA+CB=10＞AB，符合椭圆定义，所以△ABC的顶点C的轨迹方程可求．

解答 解：∵$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{5}{4}$，
∴CA+CB=$\frac{5}{4}$AB
∵A（4，0）、B（-4，0），
∴CA+CB=10＞AB，
∴△ABC的顶点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆（除去与x轴的两个交点）．
∴a=5，c=4，∴b²=a²-c²=9
∴△ABC的顶点C的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1（y≠0）．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1（y≠0）．

点评 本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于中档题．