Question

已知△ABC的两个顶点A、B分别是椭圆+=1 的左、右焦点，三个内角A、B、C满足sinA-sinB=sinC，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A．-=1
B．-=1  （x＜0）
C．-=1 （x＜-2 ）
D．-=1

Answer 1

【答案】分析：利用正弦定理可把sinA-sinB=sinC化为|BC|-|AC|=|AB|，从而判断顶点C是以A、B为焦点的双曲线的左支（除掉与x轴的交点），根据已知条件求出相关量即可求得方程．
解答：解：因为A、B是椭圆椭圆+=1 的左、右焦点，所以A（-4，0），B（4，0），
由正弦定理得，=2R（R为△ABC外接圆的半径），
所以由sinA-sinB=sinC，得，即|BC|-|AC|=|AB|=4＜|AB|，
所以顶点C是以A、B为焦点的双曲线的左支（除掉与x轴的交点），
设顶点C的轨迹方程为=1（x＜-a），
则a=2，c=4，所以b²=c²-a²=16-4=12，
故顶点C的轨迹方程为．
故选C．
点评：本题考查圆锥曲线方程的求法及正弦定理的应用，考查学生分析解决问题的能力，本题需注意所求轨迹上的点C为三角形顶点，故与A、B不共线．