Question

已知△ABC的两个顶点A、B分别是椭圆

x2

25

+

y2

9

=1 的左、右焦点，三个内角A、B、C满足sinA-sinB=

1

2

sinC，则顶点C的轨迹方程是（　　）

• A．

  x2

  4

  -

  y2

  12

  =1
• B．

  x2

  4

  -

  y2

  12

  =1  （x＜0）
• C．

  x2

  4

  -

  y2

  12

  =1 （x＜-2 ）
• D．

  x2

  4

  -

  y2

  12

  =1

Answer 1

分析：利用正弦定理可把sinA-sinB=

1

2

sinC化为|BC|-|AC|=

1

2

|AB|，从而判断顶点C是以A、B为焦点的双曲线的左支（除掉与x轴的交点），根据已知条件求出相关量即可求得方程．

解答：解：因为A、B是椭圆椭圆

x2

25

+

y2

9

=1 的左、右焦点，所以A（-4，0），B（4，0），
由正弦定理得，

|BC|

sinA

=

|AC|

sinB

=

|AB|

sinC

=2R（R为△ABC外接圆的半径），
所以由sinA-sinB=

1

2

sinC，得

|BC|

2R

-

|AC|

2R

=

1

2

•

|AB|

2R

，即|BC|-|AC|=

1

2

|AB|=4＜|AB|，
所以顶点C是以A、B为焦点的双曲线的左支（除掉与x轴的交点），
设顶点C的轨迹方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（x＜-a），
则a=2，c=4，所以b²=c²-a²=16-4=12，
故顶点C的轨迹方程为

x2

4

-

y2

12

=1(x＜-2)．
故选C．

点评：本题考查圆锥曲线方程的求法及正弦定理的应用，考查学生分析解决问题的能力，本题需注意所求轨迹上的点C为三角形顶点，故与A、B不共线．