Question

16．已知函数f（x）=-lnx+t（x-1），t为实数．
（1）讨论函数f（x）在（0，1]上的单调性；
（2）若当t=$\frac{1}{2}$时，$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$-f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过求导可知f′（x）=t-$\frac{1}{x}$，分t＜1和t＞1两种情况讨论即得结论；
（2）通过分析可知当t=$\frac{1}{2}$时$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$-f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立等价于k＜$\frac{1}{2}$x²-xlnx在（1，+∞）上恒成立，通过令g（x）=$\frac{1}{2}$x²-xlnx，求导并利用导数可知g（x）=$\frac{1}{2}$x²-xlnx在（1，+∞）上单调递增，进而整理即得结论．

解答 解：（1）∵f（x）=-lnx+t（x-1），t为实数，
∴f′（x）=-$\frac{1}{x}$+t=t-$\frac{1}{x}$，
又∵x∈（0，1]，
∴当t＜1时，f′（x）=t-$\frac{1}{x}$＜0，此时函数f（x）在（0，1]上的单调递减；
当t＞1时，f′（x）=t-$\frac{1}{x}$＜0（0＜x＜$\frac{1}{t}$），f′（x）=t-$\frac{1}{x}$＞0（$\frac{1}{t}$＜x≤1），
此时函数f（x）在（0，$\frac{1}{t}$）上单调递减，在（$\frac{1}{t}$，1]上的单调递增；
（2）∵当t=$\frac{1}{2}$时$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$-f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$+lnx-$\frac{1}{2}$（x-1）＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$x+lnx＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴k＜$\frac{1}{2}$x²-xlnx在（1，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{2}$x²-xlnx，则g′（x）=x-1-lnx＞0（x＞1），
∴g（x）=$\frac{1}{2}$x²-xlnx在（1，+∞）上单调递增，
∴k≤g（1）=$\frac{1}{2}$，故实数k的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．