Question

8．数列{a_n}中，已知对任意自然数n，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=2²ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=（　　）

• A． 3（4ⁿ-1）
• B． 3（2ⁿ-1）
• C． 4ⁿ-1
• D． （2ⁿ-1）²

Answer 1

分析 通过a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=2²ⁿ-1与a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=2^2（n-1）-1（n＞1）作差，进而可知a_n=3×2^n-1，利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：∵a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=2²ⁿ-1，
∴当n＞1是，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=2^2（n-1）-1，
两式相减，得：2^n-1a_n=（2²ⁿ-1）-[2^2（n-1）-1]=3×4^n-1，
∴a_n=3×2^n-1（n＞1），
又∵a₁=2²-1=3满足上式，
∴a_n=3×2^n-1，a_n²=9×4^n-1，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=9×$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=3（4ⁿ-1），
故选：A．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．