Question

已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．直线与椭圆交于不同两点、(，都在轴上方)，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；
（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1），（2），（3）.

试题分析：（1）本题椭圆方程的求法是轨迹法.这是由于题目没有明确直线是左准线，点是左焦点.不可利用待定系数法求解. 设，则，,化简得： 椭圆C的方程为：,（2）条件中角的关系一般化为斜率，利用坐标进行求解. 因为,所以，由题意得，，可求与椭圆交点，从而可得直线方程（3）直线过定点问题，一般先表示出直线, ,利用等量关系将两元消为一元. ，代入得：,.化简得，直线方程：直线总经过定点
解：（1）设，则，       （2分）

化简得： 椭圆C的方程为：   （4分）
（2），
，   （3分）
代入得：，，代入得
，   （5分）
，   （6分）
（3）解法一：由于，。   （1分）
设
设直线方程：，代入得：
   （3分）



，   （5分）
直线方程：直线总经过定点   （6分）
解法二：由于，所以关于x轴的对称点在直线上。

设
设直线方程：，代入得：


，，令，得：

，


直线总经过定点