Question

下列命题中：
（1）若x₁满足2x+2^x=5，x₂满足2x+2log₂（x-1）=5，则x₁+x₂=4；
（2）函数y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，则

1

m

+

1

n

的最小值是

3+2 2

2

；
（3）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若f（x）=2x+g（x）在[0，1]上的值域为[-1，3]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[-1，7]；
（4）已知曲线y=

2x-x2

（0≤x≤2）与直线y=k（x-2）+2仅有2个交点，则k∈（

3

4

，1）；
（5）函数y=log₂

2x

4-x

图象的对称中心为（2，1）．
其中真命题序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：（1）先由题中已知分别将x₁、x₂所满足的关系表达为，2x₁=2log₂（5-2x₁）…系数配为2是为了与下式中的2x₂对应2x₂+2log₂（x₂-1）=5，观察两个式子的特点，发现要将真数部分消掉求出x₁+x₂，只须将5-2x₁化为2（t-1）的形式，则2x₁=7-2t，t=x₂；
（2）利用对数函数的单调性和特殊点求得点A（-2，-1），由点A在mx+ny+2=0上，可得2m+n=2．再由

1

m

+

1

n

=

1

2

（2m+n）（

1

m

+

1

n

）=

3

2

+

n

2m

+

m

n

，利用基本不等式求得它的最小值；
（3）把f（x）看成两个函数y=2x及y=g（x）的“和”，因为函数y=2x递增，y=g（x）以1为周期，因此，结合周期分别再求出y=f（x）在区间[1，2]和[2，3]的值域即可得到函数f（x）在[0，3]上的值域；
（4）已知曲线y=

2x-x2

（0≤x≤2）与直线y=k（x-2）+2仅有2个交点，则k∈（

3

4

，1]，；
（5）函数y=log₂

2x

4-x

图象上取点（a，b），则b=log₂

2a

4-a

，关于（2，1）的对称点的坐标为（4-a，2-b），所以log₂

2(4-a)

a

=2-b，可得结论．

解答： 解：由题意2x1+2x1=5①，2x₂+2log₂（x₂-1）=5，②所以2x1=5-2x₁，所以x₁=log₂（5-2x₁），即2x₁=2log₂（5-2x₁），令2x₁=7-2t，代入上式得7-2t=2log₂（2t-2）=2+2log₂（t-1），所以5-2t=2log₂（t-1）与②式比较得t=x₂，于是2x₁=7-2x₂，即x₁+x₂=3.5，故（1）不正确；
（2）函数y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（-2，-1），点A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，所以-2m-n+2=0，即2m+n=2，所以

1

m

+

1

n

=

1

2

（2m+n）（

1

m

+

1

n

）=

3

2

+

n

2m

+

m

n

≥

3+2 2

2

，当且仅当

n

2m

=

m

n

时取等号，故

1

m

+

1

n

的最小值为

3+2 2

2

，故（2）正确；
（3）设x∈[1，2]，则x-1∈[0，1]，则f（x）=2x+g（x）=2（x-1）+g（x-1）+2=f（x-1）+2 ①，
因为x∈[0，1]时，f（x）∈[-1，3]，所以对于①式，f（x-1））∈[-1，3]，∴f（x）=f（x-1）+2∈[1，5]．同理，当x∈[2，3]，则x-2∈[0，1]，则f（x）=2x+g（x）=2（x-2）+g（x-2）+4=f（x-2）+4 ②，
因为x∈[0，1]时，f（x）∈[-1，3]，所以对于②式，f（x-2）∈[-1，3]，所以f（x）=f（x-2）+4∈[3，7]，综上，y=f（x）在[0，3]上的值域为[-1，7]，故（3）正确；
（4）已知曲线y=

2x-x2

（0≤x≤2）与直线y=k（x-2）+2仅有2个交点，则k∈（

3

4

，1]，故不正确；
（5）函数y=log₂

2x

4-x

图象上取点（a，b），则b=log₂

2a

4-a

，关于（2，1）的对称点的坐标为（4-a，2-b），所以log₂

2(4-a)

a

=2-b，所以图象的对称中心为（2，1）．故正确．
故答案为：（2）（3）（5）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，涉及知识点多，难度大．