Question

3．设集合A={（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长}，若z=kx+2y的取值范围为（1，$\frac{5}{2}$），则k的值为（　　）

• A． -3
• B． -2
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 先依据x，y，1-x-y是三角形的三边长，利用三角的两边之和大于第三边得到关于x，y的约束条件，再结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出图形即可，根据z=kx+2y的取值范围为（1，$\frac{5}{2}$），得到k＞0，代入角点坐标，求出k的值即可．

解答 解：∵x，y，1-x-y是三角形的三边长，
∴x＞0，y＞0，1-x-y＞0，
并且x+y＞1-x-y，x+（1-x-y）＞y，y+（1-x-y）＞x
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-\frac{1}{2}＞0}\\{y-\frac{1}{2}＜0}\\{x-\frac{1}{2}＜0}\end{array}\right.$，
若z=kx+2y的取值范围为（1，$\frac{5}{2}$），
显然k＞0，
画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由z=kx+2y得：y=-$\frac{k}{2}$x+$\frac{z}{2}$，
直线过（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）时，z最大取$\frac{5}{2}$，解得：k=3，
直线过（0，$\frac{1}{2}$）时，z最小，取1，符合条件，
故选：D．

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．