Question

解不等式：x（2x²-2ax+1）＞0（a∈R）

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：根据不等式的关系，先讨论x，然后在讨论a的取值即可得到结论．

解答： 解：x≠0，否则不等式不成立，
①若x＞0，则不等式等价为2x²-2ax+1＞0，
判别式△=4a²-8，
若△=4a²-8＜0，即-

2

＜a＜

2

，则不等式2x²-2ax+1＞0恒成立，此时不等式的解为x＞0．
若△=4a²-8=0，即a=-

2

或a=

2

，则不等式2x²-2ax+1＞0等价为x≠

a

2

，
若a=-

2

，不等式的解为x＞0．
若a=

2

，不等式的解为x＞0且x≠

2

2

，
若△=4a²-8＞0，即a＜-

2

或a＞

2

，则不等式2x²-2ax+1＞0等价为x＜

a- a2-2

2

或x＞

a+ a2-2

2

，
当a＞

2

时，原不等式的解集为0＜x＜

a- a2-2

2

或x＞

a+ a2-2

2

，
若a＜-

2

时，原不等式的解集为x＞0，
②若x＜0，则不等式等价为2x²-2ax+1＜0，
判别式△=4a²-8，
若△=4a²-8＜0，即-

2

＜a＜

2

，则不等式2x²-2ax+1＜0不成立，此时不等式的解为∅．
若△=4a²-8=0，即a=-

2

或a=

2

，则不等式2x²-2ax+1＜0不成立，此时不等式的解为∅，
若△=4a²-8＞0，即a＜-

2

或a＞

2

，则不等式2x²-2ax+1＜0等价为

a- a2-2

2

＜x＜

a+ a2-2

2

，
当a＞

2

时，原不等式的解集为∅，
若a＜-

2

时，原不等式的解为

a- a2-2

2

＜x＜

a+ a2-2

2

．
综上-

2

≤a＜

2

时，不等．式的解集为（0，+∞），
a=

2

，不等式的解集为{x|x＞0且x≠

2

2

}，
a＞

2

时，原不等式的解集为（0，

a- a2-2

2

）∪（

a+ a2-2

2

，+∞），
a＜-

2

时，原不等式的解集为（0，+∞）∪（

a- a2-2

2

，

a+ a2-2

2

）．

点评：本题主要考查不等式的求解，考查分类讨论的数学思想，运算量较大．