Question

7．随着医院对看病挂号的改革，网上预约成为了当前最热门的就诊方式，这解决了看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题；某医院研究人员对其所在地区年龄在10～60岁间的n位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查，并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图，如右图所示．
（1）若被调查的人员年龄在20～30岁间的市民有300人，求被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；
（2）若按分层抽样的方法从年龄在[20，30）以内及[40，50）以内的市民中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行调研，记随机抽的3人中，年龄在[40，50）以内的人数为X，求X的分布列以及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布列求出被调查的人员年龄在20～30岁间的市民的频率，由此求出n，再求出被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民的频率，从而能求出被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数．
（2）年龄在[20，30）内的市民有300人，年龄在[40，50）内的市民有200人，按分层抽样的方法从年龄在[20，30）以内及[40，50）以内的市民中随机抽取10人，年龄在[20，30）内的市民抽中6人，年龄在[40，50）内的市民抽中4人，从而X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答 解：（1）由频率分布列知被调查的人员年龄在20～30岁间的市民的频率为0.030×10=0.3，
∵被调查的人员年龄在20～30岁间的市民有300人，
∴n=$\frac{300}{0.3}$=1000，
∵被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民的频率为（0.020+0.005）×10=0.25，
∴被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数为：0.25×1000=250人．
（2）年龄在[20，30）内的市民有：0.030×1000=300人，
年龄在[40，50）内的市民有：0.020×1000=200人，
按分层抽样的方法从年龄在[20，30）以内及[40，50）以内的市民中随机抽取10人，
年龄在[20，30）内的市民抽中300×$\frac{10}{300+200}$=6人，
年龄在[40，50）内的市民抽中：200×$\frac{10}{300+200}$=4人，
再从这10人中随机抽取3人进行调研，记随机抽的3人中，年龄在[40，50）以内的人数为X，
则X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

EX=$0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图、分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．