题目内容
6．设函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x+a．（1）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为$\frac{3}{2}$．求f（x）的单调区间与对称中心
（2）当a=-$\frac{1}{2}$时，求出最小正实数m，使得函数f（x）的图象向右平移m个单位长度后所对应的函数是偶函数．
分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+a，根据题意可得a=0，可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，易得函数的单调区间和对称中心．
（2）由图象平移的知识可得向右平移m个单位长度，代表将对称轴移到y轴．
解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x+a，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1+cos2x）+a，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+a，
当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
函数f（x）的最大值与最小值的和为1+$\frac{1}{2}$+a+a=$\frac{3}{2}$．
∴a=0，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，
单调递减区间是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，可得x=-$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，
∴对称中心是（-$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{1}{2}$），（k∈Z），
（2）当a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
对称轴为x=$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ，（k∈Z），
∴f（x）最大的负数对称轴为x=-$\frac{π}{3}$，
m=$\frac{π}{3}$．
点评 由三角函数公式可化简，根据题意可得a=0，易得函数的单调区间和对称中心．由图象平移的知识可得向右平移m个单位长度，代表将对称轴移到y轴．
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，试证明动点P在线段B1C上．| A． | -2 | B． | -1 | C． | 1 | D． | 2 |