题目内容

在△OAB中，
（1）若C为直线AB上一点，且
AC
=λ
CB
(λ≠-1)，求证：
OC
=
OA
+λ
OB
1+λ
；
（2）若
OA
•
OB
=0，|
OA
|=|
OB
|=a，且C为线段AB上靠近A的一个三等分点，求
OC
•
AB
的值；
（3）若|
OA
|=1，|
OB
|=
3
，且P1，P2，P3，…，Pn-1为线段AB的n（n≥2）个等分点，求
OP1
•
AB
+
OP2
•
AB
+…+
OPn-1
•
AB
的值．
分析：（1）由
AC
=λ
CB
，得
OC
-
OA
=λ(
OB
-
OC
)．然后求出
OC
即可证明结论．
（2）利用（1）化简
OC
•
AB
，结合
OA
•
OB
=0，|
OA
|=|
OB
|=a，求出λ，推出
OC
•
AB
的值．
（3）利用（1）的结论，化简
OP1
•
AB
+
OP2
•
AB
+…+
OPn-1
•
AB
为
n-1
2
(
OB
-
OA
)(
OB
+
OA
)，求出它的值．
解答：解：（1）由
AC
=λ
CB
，得
OC
-
OA
=λ(
OB
-
OC
)．
即(1+λ)
OC
=
OA
+λ
OB
，因为λ≠-1，所以
OC
=
OA
+λ
OB
1+λ
．（4分）
（2）
OC
•
AB
=
OA
+λ
OB
1+λ
(
OB
-
OA
)=
1-λ
1+λ
OA
•
OB
+
λ
1+λ
OB
2-
1
1+λ
OA
2（6分）
因为
OA
•
OB
=0，|
OA
|=|
OB
|=a，所以
OC
•
AB
=
λ-1
λ+1
a2．
由于C为线段AB上靠近A的一个三等分点，故λ=
1
2

所以
OC
•
AB
=-
1
3
a2（8分）
（3）
OP1
•
AB
+
OP2
•
AB
+…+
OPn-1
•
AB
=
AB
(
OP1
+
OP2
+…+
OPn-1
)
=
AB
(
OA
+
1
n-1
OB
1+
1
n-1
+
OA
+
2
n-2
OB
1+
2
n-2
+…+
OA
+
n-1
n-(n-1)
OB
1+
n-1
n-(n-1)
)（10分）
=
AB
[(
n-1
n
+
n-2
n
+…+
1
n
)
OA
+(
1
n
+
2
n
+
n-1
n
)
OB
]
=
n-1
2
(
OB
-
OA
)(
OB
+
OA
)=
n-1
2
(
OB
2-
OA
2)=n-1（14分）
点评：本题考查平面向量数量积的运算，考查计算能力，是中档题．
练习册系列答案
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（2006•广州一模）如下图，在△OAB中，|OA|=|OB|=4，点P分线段AB所成的比为3：1，以OA、OB所在直线为渐近线的双曲线M恰好经过点P，且离心率为2．
（1）求双曲线M的标准方程；
（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线M交于不同的两点E、F，且E、F两点都在以Q（0，-3）为圆心的同一圆上，求实数m的取值范围．

在△OAB中，
（1）若C为直线AB上一点，且数学公式，求证：数学公式；
（2）若数学公式，数学公式，且C为线段AB上靠近A的一个三等分点，求数学公式的值；
（3）若数学公式，数学公式，且P1，P2，P3，…，Pn-1为线段AB的n（n≥2）个等分点，求数学公式的值．
在△OAB中，
（1）若C为直线AB上一点，且
AC
=λ
CB
(λ≠-1)，求证：
OC
=
OA
+λ
OB
1+λ
；
（2）若
OA
•
OB
=0，|
OA
|=|
OB
|=a，且C为线段AB上靠近A的一个三等分点，求
OC
•
AB
的值；
（3）若|
OA
|=1，|
OB
|=
3
，且P1，P2，P3，…，Pn-1为线段AB的n（n≥2）个等分点，求
OP1
•
AB
+
OP2
•
AB
+…+
OPn-1
•
AB
的值．
在△OAB中，
（1）若C为直线AB上一点，且，求证：；
（2）若，，且C为线段AB上靠近A的一个三等分点，求的值；
（3）若，，且P1，P2，P3，…，Pn-1为线段AB的n（n≥2）个等分点，求的值．

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