题目内容

在△OAB中，
（1）若C为直线AB上一点，且 $数学公式$ ，求证： $数学公式$ ；
（2）若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，且C为线段AB上靠近A的一个三等分点，求 $数学公式$ 的值；
（3）若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，且P₁，P₂，P₃，…，P_n-1为线段AB的n（n≥2）个等分点，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$ ，因为λ≠-1，所以 $\text{[math]}$ ．（4分）
（2） $\text{[math]}$ （6分）
因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
由于C为线段AB上靠近A的一个三等分点，故 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ （8分）
（3） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （10分）
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =n-1（14分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．然后求出 $\text{[math]}$ 即可证明结论．
（2）利用（1）化简 $\text{[math]}$ ，结合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求出λ，推出 $\text{[math]}$ 的值．
（3）利用（1）的结论，化简 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，求出它的值．
点评：本题考查平面向量数量积的运算，考查计算能力，是中档题．

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