Question

在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

Answer 1

答案：
解析：

证明：由A、B、C成等差数列，所以有 　　2B＝A＋C，因为A、B、C为△ABC的内角， 　　所以A＋B＋C＝π， 　　所以B＝． 　　由a、b、c成等比数列，有b2＝ac． 　　由余弦定理及b2＝ac，可得： 　　b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac． 　　∴a2＋c2－ac＝ac　即(a－c)2＝0， 　　因此a＝c，从而有A＝C． 　　∴A＝B＝C＝，所以△ABC为正三角形． 　　思路分析：将A、B、C成等差数列，转化为符号语言就是2B＝A＋C；a、b、c成等比数列，转化为符号语言就是b2＝ac．A、B、C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A＋B＋C＝π，此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状．余弦定理正好满足要求，于是可以用余弦定理为工具进行证明．