Question

【题目】如图，边长为3的正方形所在的平面与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，设.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】分析：（1）过作交于，连接，，由几何关系可证得四边形为平行四边形，结合线面平行的判定定理可得平面.

（2）以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，据此计算可得二面角的余弦值为.

详解：（1）过作交于，连接，，因为，

，所以,

又，所以，故，

所以四边形为平行四边形，故，

而平面，平面，所以平面.

（2）以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系，

则，

故，，

设平面的一个法向量为，则：

平面的一个法向量为，

又，，

设平面的一个法向量为，则：

平面的一个法向量为，

故，

从而求二面角的余弦值为.