Question

19．已知非零向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{OA}$|=2，若点M在直线OB上，则|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OM}$|的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设|$\overrightarrow{OM}$|=x，x≥0，求得|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}）}^{2}}$=$\sqrt{{（x+1）}^{2}+3}$，再利用二次函数的性质，求得它的最小值．

解答 解：向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{OA}$|=2，若点M在直线OB上，设|$\overrightarrow{OM}$|=x，x≥0，
则|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{OA}}^{2}{+\overrightarrow{OM}}^{2}+2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}$
=$\sqrt{{2}^{2}{+x}^{2}+2•2•x•cos\frac{π}{3}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2x+4}$=$\sqrt{{（x+1）}^{2}+3}$，
故当x=0时，|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OM}$|取得最小值为2，
故选：B．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，二次函数的性质，属于中档题．