已知斜率为k的直线l过点M(1.0).且与抛物线x2=2y交于A.B两点.若动点P在y轴的右侧且满足$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$)．(1)求动点P的轨迹方程,(2)记动点P的轨迹为C.若曲线C的切线斜率为λ.满足$\overrightarrow{MB}=� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知斜率为k的直线l过点M（1，0），且与抛物线x²=2y交于A，B两点，若动点P在y轴的右侧且满足$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$）（O为坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）记动点P的轨迹为C，若曲线C的切线斜率为λ，满足$\overrightarrow{MB}=λ\overrightarrow{MA}$，点A到y轴的距离为a，求a的取值范围．

分析（1）点斜式设出直线l的方程并与抛物线方程联立方程组，得到直线l与物线交于A，B两点的坐标间的关系，由$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$，得到点P的坐标与直线斜率k的关系，消去k得到动点P的轨迹方程．
（2）先求出曲线C的切线斜率λ的范围，又$\overrightarrow{MB}=λ\overrightarrow{MA}$，用λ表示a，由斜率λ的范围得出a的取值范围．

解答解：（1）设直线l的方程为y=k（x-1），交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=2y\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$，得x²-2kx+2k=0，…（1分）
因为直线与抛物线有两个交点，所以△=4k²-8k＞0，即k＞2或k＜0..…（2分）
则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=2k\\{x_1}{x_2}=2k\end{array}\right.$．…（3分）
由$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$，得P是AB的中点，设P（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=k\\ y=k（x-1）={k^2}-k\end{array}\right.$，消去k得y=x²-x，…（4分）
由P点在y轴的右侧，得x＞0，再由x=k，及k＞2或k＜0，得x＞2．…（5分）
故动点P的轨迹方程为y=x²-x（x＞2）．…（6分）
（2）由曲线C的方程为y=x²-x（x＞2），曲线C的切线的斜率为λ=y'=2x-1（x＞2），∴λ＞3．…（7分）
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{MB}=（{x_2}-1，{y_2}）\\ \overrightarrow{MA}=（{x_1}-1，{y_1}）\end{array}\right.$
由$\overrightarrow{MB}=λ\overrightarrow{MA}$得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}-1=λ（{x_1}-1）\\{y_2}=λ{y_1}\end{array}\right.$，由${x_1}^2=2{y_1}$，${x_2}^2=2{y_2}$得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=λ{x_1}-λ+1\\{x_2}^2=λ{x_1}^2\end{array}\right.$
又λ＞3解得$λ{x_1}^2-2λ{x_1}+λ-1=0$，…（9分）
解得${x_1}=\frac{{2λ±\sqrt{4λ}}}{2λ}=1±\sqrt{\frac{1}{λ}}$．
则A到y轴的距离为$a={x_1}=1±\sqrt{\frac{1}{λ}}（λ＞3）$，
故a的取值范围是$（1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）∪（1，1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．…（12分）