Question

【题目】如图，三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

(1)求证：平面ABED∥平面FGH；

(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据面面平行的判定定理即可证明平面ABED∥平面GHF；连接HE，利用三角形中位线定理可得GH∥AB，于是GH⊥BC．可证明EFCH是平行四边形，可得HE⊥BC．因此BC⊥平面EGH，即可证明平面BCD⊥平面EGH．

解析：

（1）在三棱台DEFABC中，BC＝2EF，H为BC的中点，BH∥EF，BH＝EF，

四边形BHFE为平行四边形，有BE∥HF.

BE∥平面FGH

在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，GH∥AB.

AB∥平面FGH

又AB∩BE＝B，所以平面ABED∥平面FGH.

(2)连接HE,EG

G，H分别为AC，BC的中点，GH∥AB. AB⊥BC，GH⊥BC.

又H为BC的中点，EF∥HC，EF＝HC，四边形EFCH是平行四边形，有CF∥HE.

CF⊥BC，HE⊥BC.

HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H，BC⊥平面EGH.

BC平面BCD，平面BCD⊥平面EGH.