Question

【题目】已知椭圆的焦距为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若不经过点的直线与交于两点，且直线与直线的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由已知条件先求出椭圆的半焦距，再把代入椭圆方程，结合性质 ，求出 、 、，即可求出椭圆的方程；（2）设直线的方程为与椭圆的方程联立，根据韦达定理及过两点的斜率公式，利用直线的斜率之和为零可得，从而可得结果.

试题解析：（1）因为椭圆的焦距为，且过点，所以.因为，解得，所以椭圆的方程为.

（2）设点，则，由消去得，（*）则，因为，即，化简得.即.（**）代入得，整理得，所以或.若，可得方程（*）的一个根为，不合题意，所以直线的斜率为定值，该值为.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和过两点的斜率公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.