Question

【题目】设函数f（x）= ﹣k ln x，k＞0．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）= ﹣k ln x，k＞0f'（x）=

由f'（x）=0解得x=

f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：

x	（0， ）
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	递减		递增

所以，f（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为（0， ）；

f（x）在x= 处的极小值为f（ ）= ，无极大值

（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（ ）．

因为f（x）存在零点，所以 ，从而k≥e

当k=e时，f（x）在区间（1， ）上单调递减，且f（ ）=0

所以x= 是f（x）在区间（1， ）上唯一零点．

当k＞e时，f（x）在区间（0， ）上单调递减，

∵ ，

所以f（x）在区间（1， ）上仅有一个零点．

综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点

【解析】（1）利用导函数求得函数的单调区间，两个不同单调性区间的交汇处，函数取得极值；（2）零点定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是f(x)=0的根.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．