题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
 
．
分析：先利用条件求出F，P的坐标和椭圆另一焦点坐标，进而求出|PE|，|PF|和|EF|，再利用椭圆定义求出2a和2c就可找到椭圆的离心率．
解答：精英家教网解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F为（
p
2
，0），设椭圆另一焦点为E．
当x=
p
2
时代入抛物线方程得y=±p．又因为PQ经过焦点F，所以P（
p
2
，p）且PF⊥OF．
所以|PE|=
(
p
2
+
p
2
)2+p2
=
2
p，|PF|=P．|EF|=p．
故2a=
2
p+p，2c=p．e=
2c
2a
=
2
-1．
故答案为：
2
-1．
点评：本题求椭圆的离心率．在求椭圆的离心率时，一般是求出a，c，也可以求出b，c或b，a；再利用a，b，c之间的关系求a，c即可求出椭圆的离心率．
练习册系列答案
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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