Question

（2012•焦作模拟）已知点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右支上一点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若S△IPF1=S△IPF2+

1

2

S△IF1F2成立，则双曲线的离心率为（　　）

• A．4
• B．

  5

  2

• C．2
• D．

  5

  3

Answer 1

分析：设圆I与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁、PF₂分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式S△IPF1=S△IPF2+

1

2

S△IF1F2，化简可得|PF₁|-|PF₂|=

1

2

| F1F2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．

解答：解：如图，设圆I与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁、PF₂分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，
则IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，它们分别是△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴S△IPF1=

1

2

×|PF1| ×IF=

r

2

|PF1|，S△IPF2=

1

2

×|PF2| ×IG=

r

2

|PF2|
S△IF1F2=

1

2

×|F1F2| ×IE=

r

2

|F1F2|，其中r是△PF₁F₂的内切圆的半径．
∵S△IPF1=S△IPF2+

1

2

S△IF1F2
∴

r

2

|PF1|=

r

2

|PF2|+

r

4

|F1F2|
两边约去

r

2

得：|PF₁|=|PF₂|+

1

2

| F1F2|
∴|PF₁|-|PF₂|=

1

2

| F1F2|
根据双曲线定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a，

1

2

|F1F2|=c
∴2a=c?离心率为e=

c

a

=2
故选C

点评：本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．