Question

（本小题满分14分）
椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为。
（I）求椭圆的方程；
（II）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若
为直角三角形，求直线的斜率。

Answer 1

（I）
（II）和

（I）由已知            ………………3分
又，解得
所以椭圆C的方程为。  ………………………………5分
（II）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设。
联立，，消去y得，…………6分
，
令，解得。    ………………………………………………7分
设E、F两点的坐标分别为，
（i）当∠EOF为直角时，
则，…………………………8分
因为∠EOF为直角，所以，即，………………9分
所以，
所以，解得 ………………11分
（ii）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，
此时，，所以，即……①…………12分
又…………②
将①代入②，消去x₁得
解得或（舍去），……………………13分
将代入①，得 所以，………………14分
经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和。