Question

已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然常数，a∈R.

(1)讨论当a＝1时，函数f(x)的单调性和极值；

(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋；

(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解　(1)∵f(x)＝x－lnx，f′(x)＝1－＝，

∴当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当1<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

∴f(x)的极小值为f(1)＝1.

(2)证明：∵f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]上的最小值为 1，∴f(x)_min＝1.

又∵g′(x)＝，

∴0<x<e时，g′(x)>0，g(x)在(0，e]上单调递增．

∴g(x)_max＝g(e)＝<.

∴f(x)_min－g(x)_max>.

∴在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋.

(3)假设存在实数a，使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3，则f′(x)＝a－＝.

①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)_min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，所以，此时f(x)的最小值不是3；

③当≥e，即0<a≤时，f(x)在(0，e]上单调递减，

f(x)_min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)．所以，此时f(x)的最小值不是3.

综上，存在实数a＝e²，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.