Question

（本小题满分14分）

已知函数满足如下条件：当时，，且对任意，都有．

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）求当，时，函数的解析式；

（3）是否存在，，使得等式

成立？若存在就求出（），若不存在，说明理由．

Answer 1

（本小题满分14分）

解 （1）时，，，      ………………………2分

所以，函数的图象在点处的切线方程为，即．…3分

（2）因为，

所以，当，时，，     ………………………4分

．…6分

（3）考虑函数，，，

则，

当时，，单调递减；

当时，；

当时，，单调递增；

所以，当，时，，

当且仅当时，．       ……………………………10分

所以，

而，

令，则，

两式相减得，

．

所以，，

故．   ……………………12分

所以，．

当且仅当时，

．

所以，存在唯一一组实数，，

使得等式成立．     ……………………………14分