Question

已知A、B两点的坐标分别为A(cos

x

2

，sin

x

2

)，B(cos

3x

2

，-sin

3x

2

)，其中x∈[-

π

2

，0].
（Ⅰ）求|

AB

|的表达式；
（Ⅱ）若

OA

•

OB

=

1

3

（O为坐标原点），求tanx的值；
（Ⅲ）若f(x)=

AB

2+4λ|

AB

|(λ∈R)，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出向量向量

AB

，再根据向量模的运算求出答案．
（2）根据

OA

•

OB

=

1

3

先求出cos2x=

1

3

，进而可得sinx、cosx的值，最终求出tanx的值．
（3）根据题中条件先表示出函数f（x）的解析式，再对λ进行讨论即可．

解答：解：（I）|

AB

|=

(cos 3x 2 -cos x 2 )2+(-sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2-2cos2x

=

4sin2x

=-2sinx(∵x∈[-

π

2

，0])；
（Ⅱ）∵

OA

•

OB

=cos2x=

1

3

，
∴sin2x=

1-cos2x

2

=

1

3

，cos2x=

1+cos2x

2

=

2

3

又x∈[-

π

2

，0]，∴sinx=-

3

3

，cosx=

6

3

.
∴tanx=-

2

2

；
（Ⅲ）f(x)=

AB

2+4λ|

AB

|=4sin2x-8λsinx
=4（sinx-λ）²-4λ²，
∵x∈[-

π

2

，0]，∴sinx∈[-1，0]，
当-1≤λ≤0时，f（x）的最小值为-4λ2，此时sinx=λ，
当λ＜-1时，f（x）的最小值为4+8λ，此时sinx=-1，
当λ＞0时，f（x）的最小值为0，此时sinx=0．

点评：本题主要考查向量点乘运算和求模的方法．向量和三角函数的综合题每年必考，是高考的热点问题，要给予重视．