题目内容

已知向量
a
=(cos
x
2
，sin
x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-cos
x
2
)，若函数f(x)=
a
•
b
-
1
2

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若f（a）=
3
2
10
，求sin2a的值．
分析：（Ⅰ）利用数量积的坐标运算与辅助角公式可求得f（x）=
2
2
cos（x+
π
4
），从而可求f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）由f（a）=
3
2
10
，可求得cos（a+
π
4
）=
3
5
，利用余弦的二倍角公式即可求得sin2a的值．
解答：解：（Ⅰ）由已知，f（x）=cos2
x
2
-sin
x
2
cos
x
2
-
1
2

=
1
2
（1+cosx）-
1
2
sinx-
1
2

=
2
2
cos（x+
π
4
）
所以f（x）的最小正周期为2π，值域为[-
2
2
，
2
2
]．
（Ⅱ）由（1）知，f（a）=
2
2
cos（a+
π
4
）=
3
2
10
，
所以cos（a+
π
4
）=
3
5
．
所以sin2a=-cos（
π
2
+2a）=-cos2（a+
π
4
）
=1-2cos2(a+
π
2
)=1-
18
25
=
7
25
．
点评：本题考查数量积的坐标运算与辅助角公式，考查三角函数中的恒等变换应用与二倍角的余弦，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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