题目内容

已知向量
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[
π
2
，π]
（1）若|
a
+
b
|＞
3
，求x的范围；
（2）f(x)=
a
•
b
+|
a
+
b
|，若对任意x1，x2∈[
π
2
，π]，恒有|f（x1）-f（x2）|＜t，求t的取值范围．
分析：（1）由向量加法的坐标运算求出
a
+
b
，进一步求出|
a
+
b
|，然后解三角不等式求x的范围；
（2）把
a
•
b
，和
a
+
b
代入f(x)=
a
•
b
+|
a
+
b
|，整理后求出函数在[
π
2
，π]上的最值，求出两最值差的绝对值后可得t的范围．
解答：解：（1）∵
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，
∴
a
•
b
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)•(cos
x
2
，-sin
x
2
)=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos2x，
|
a
+
b
|=
(cos
3x
2
+cos
x
2
)2+(sin
3x
2
-sin
x
2
)2
=
2+2cos2x
=2|cosx|，
∵x∈[
π
2
，π]，∴|
a
+
b
|=-2cosx，
由-2cosx＞
3
?cosx＜-
3
2
，
∵x∈[
π
2
，π]，∴
5π
6
＜x≤π；
（2）∵f(x)=
a
•
b
+|
a
+
b
|
∴f(x)=cos2x-2cosx=2(cosx-
1
2
)2-
3
2

∵-1≤cosx≤0，
∴-1≤f（x）≤3?|f（x1）-f（x2）|≤|3-（-1）|=4，
∴t＞4．
点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了向量的模，问题（1）训练了三角不等式的解法，（2）考查了数学转化思想，把对任意x1，x2∈[
π
2
，π]恒有|f（x1）-f（x2）|＜t成立转化为求函数的最值问题，此题是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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