Question

已知函数f（x）=（ax+b）e^x在x=0处取得极值，且函数f（x）的图象过点A（0，-1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域是[m+1，n+1]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“增值区间”．
①证明：当x＞0，函数f（x）不存在“增值区间”；
②函数y=f（x）+2是否存在“增值区间”？若存在，写出一个“增值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）由函数f（x）=（ax+b）e^x在x=0处取得极值，且函数f（x）的图象过点A（0，-1）．可得f′（0）=0，f（0）=-1，解方程组可得a，b的值，进而得到f（x）的解析式；
（2）①假设x＞0时，函数f（x）存在增值区间[m，n]，则方程（x-1）e^x=x+1有两个不相等的正根，即函数h（x）=（x-1）e^x-x-1在（0，+∞）上有两个不同的零点，利用导数法分析函数h（x）=（x-1）e^x-x-1在（0，+∞）上仅有一个零点，与假设矛盾．可证得结论；②举出正例[0，1]是函数y=f（x）+2的一个“增值区间”．

解答： 解：（1）∵f（x）=（ax+b）e^x，
∴f′（x）=（ax+a+b）e^x，…（1分）
∵函数f（x）=（ax+b）e^x在x=0处取得极值，且函数f（x）的图象过点A（0，-1）．
∴f′（0）=a+b=0，f（0）=b=-1，
解得：a=1，b=-1，
∴f（x）=（x-1）e^x，…（4分）
证明：（2）①假设x＞0时，函数f（x）存在增值区间[m，n]．
∵x＞0时，f′（x）=xe^x＞0，
所以函数f（x）在区间（0，+∞）是增函数．…（5分）
∵函数f（x）存在增值区间[m，n]，
则

f(m)=(m-1)em=m+1 f(n)=(n-1)en=n+1

，
问题转化为方程（x-1）e^x=x+1有两个不相等的正根，
即函数h（x）=（x-1）e^x-x-1在（0，+∞）上有两个不同的零点．…（7分）
又h′（x）=xe^x-1，
∵h′′（x）=（1+x）e^x＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴h′（x）=xe^x-1在区间（0，+∞）上是增函数．…（8分）
∵h′（0）=-1＜0，h′（1）=e-1＞0，
∴在区间（0，1）存在x₀使得h′（x₀）=0，
∴当x∈（0，x₀）时，h′（x）＜0；当x∈（x₀，+∞）时，h′（x）＞0；，
∴h（x）=（x-1）e^x-x-1在区间（0，x₀）上是减函数，在区间（x₀，+∞）上是增函数．…（10分）
∵h（x₀）＜h（0）=-2＜0，
∴h（x）在区间（0，x₀]上不存在零点．
而h（x₀）•h（2）=（e³-3）h（x₀）＜0，
∴h（x）在区间（x₀，+∞）上仅有一个零点，
故函数h（x）=（x-1）e^x-x-1在（0，+∞）上仅有一个零点，与假设矛盾．
故当x＞0时，不存在“增值区间”． 　  　  　　…（12分）
解：②函数y=f（x）+2存在“增值区间”，…（13分）
[0，1]是它的一个“增值区间”．…（14分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，运算量大，综合性强，转化过程复杂，属于难题．