Question

利用单调性定义证明：函数f（x）=在其定义域内是增函数.

Answer 1

解析：本题是利用单调性定义证明单调性的一个典型例子，由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明.

证明：证法一：函数f（x）=的定义域是x∈［1，+∞），任取x₁、x₂∈［1，+∞）且x₁＜x₂，

    则f（x₂）-f（x₁）=-

=.

∵x₁、x₂∈［1，+∞），且x₁＜x₂，∴+＞0，x₂-x₁＞0.

∴f（x₁）＜f（x₂），即函数f（x）=在定义域上是增函数.

证法二：函数f（x）=的定义域是x∈［1，+∞］，任取x₁、x₂∈［1，+∞)且x₁＜x₂，

    则，

∵x₁、x₂∈［1，+∞），且x₁＜x₂，∴0≤x₁-1＜x₂-1.

∴0≤＜1.∴＜1.∵f（x₂）=＞0，∴f（x₁）＜f（x₂）.

∴函数f（x）=在定义域［1，+∞）上是增函数.