Question

利用单调性定义证明函数f(x)=x+

4

x

在[1，2]上的单调性并求其最值．

Answer 1

分析：利用函数单调性的定义，设1≤x₁＜x₂≤2，利用作差法比较f（x₁）与f（x₂）的大小，进而证明函数f（x）为单调减函数，再利用单调性求函数最值即可

解答：解：设1≤x₁＜x₂≤2，
则f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=x1-x2+

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1- 4 x1x2 )=(x1-x2) x1x2-4 x1x2

∵

1≤x1＜x2≤2

，∴

x1-x2＜0，x1x2-4＜0

，x₁x₂＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f(x)=x+

4

x

在[1，2]上为减函数
∴当x=2时，f（x）取得最小值4，当x=1时，f（x）取得最大值5．

点评：本题主要考查了函数单调性的定义，利用定义证明函数的单调性的方法和步骤，作差法比较大小，代数变形能力，属基础题