Question

已知函数f（x）=

ax

x-1

，若2f（2）=f（3）+5．
（1）求a的值．
（2）利用单调性定义证明函数f（x）在区间（1，∞） 的单调性．（提示：用定义法证明）

Answer 1

分析：（1）代入利用2f（2）=f（3）+5，即可得出；
（2）判断：函数f（x）单调递减．利用定义证明：变形f（x）=

2x

x-1

=

2(x-1)+2

x-1

=2+

2

x-1

．?x₂＞x₁＞1，只有证明f（x₂）-f（x₁）＜0即可．

解答：解：（1）∵2f（2）=f（3）+5，
∴

2a

2-1

×2=

3a

3-1

+5，解得a=2．
（2）判断：函数f（x）单调递减．
证明：由（1）可知：f（x）=

2x

x-1

=

2(x-1)+2

x-1

=2+

2

x-1

．
?x₂＞x₁＞1，则f（x₂）-f（x₁）=2+

2

x2-1

-(2+

2

x1-1

)=

2(x1-x2)

(x2-1)(x1-1)

，
∵x₂＞x₁＞1，∴x₁-x₂＜0，x₂-1＞0，x₁-1＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）＜0．即f（x₂）＜f（x₁）．
∴函数f（x）在区间（1，+∞） 的单调递减．

点评：本题考查了函数的单调性的定义、求值，属于基础题．