题目内容
已知函数f(x)=2x+
．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）利用单调性定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．
| 1 | 2x |
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）利用单调性定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．
分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．
解答：解：（1）∵f(x)=2x+
=2x+2-x，
∴f（-x）=2x+2-x=f（x），
∴函数f（x）为偶函数；
（2）利用单调性定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．
设0＜x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=2x1+
-(2x2+
)=2x1-2x2+
=(2x1-2x2)
，
∵0＜x1＜x2，
∴2x1-2x20，
即f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．
| 1 |
| 2x |
∴f（-x）=2x+2-x=f（x），
∴函数f（x）为偶函数；
（2）利用单调性定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．
设0＜x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=2x1+
| 1 |
| 2x1 |
| 1 |
| 2x2 |
| 2x2-2x1 |
| 2x1?2x2 |
| 2x1?2x2-1 |
| 2x1?2x2 |
∵0＜x1＜x2，
∴2x1-2x20，
即f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．
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