Question

（09年海淀区期末文）（14分）

       直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，

   （I）求证：BC₁//平面A₁CD；

   （II）求二面角A―A₁C―D的大小。

Answer 1

 解析：（I）证明：连结AC₁，设连结DE，…………1分

A₁B₁C₁―ABC是直三棱柱，且

       AA₁CC₁是正方形，E是AC₁的中点，

       又D为AB中点，

  ED//BC₁…………3分

       又

       BC₁//平面A₁CD…………5分

   （II）法一：设H是AC中点，F是EC中点，连接DH，HF，FD…………6分

      

 D为AB中点，

  DH//BC，同理可证HF//AE，

       又

       又侧棱

      

       …………8分

       由（I）得AA₁C₁C是正方形，则

      

       在平面AA₁C₁C上的射影，

      

       是二面角A―A₁C―D的平面角…………10分

       又……12分

       …………13分

    …………14分

       法二：在直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，

       分别以CA，CB，CC₁所在的直线为建立空间直角坐标系，

      

       则……7分

      

 设平面A₁DC的法向量为则

       …………8分

      

      

       则…………9分

       取……10分

       为平面CAA₁C₁的一个法向量…………11分

       …………12分

       由图可知，二面角A―A₁C―D的大小为…………14分