Question

11．（1）设x≥1，y≥1，证明x+y+$\frac{1}{xy}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+xy；
（2）设a，b，c都是正数，求证：$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{2c}$≥$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$．

Answer 1

分析 （1）利用作差法，即可比较，
（2）根据基本不等式可得$\frac{\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}}{2}$≥$\frac{1}{a+b}$，同理可得$\frac{\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c}}{2}$≥$\frac{1}{a+c}$，$\frac{\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}}{2}$≥$\frac{1}{b+c}$，问题得以证明

解答 证明：（1）x+y+$\frac{1}{xy}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$-xy=$\frac{{x}^{2}y+x{y}^{2}+1-y-x-{x}^{2}{y}^{2}}{xy}$=-$\frac{（x-1）（y-1）（xy-1）}{xy}$，
∵x≥1，y≥1，
∴x-1≥0，y-1≥0，xy≥1，则差式为负，
故明x+y+$\frac{1}{xy}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+xy；
（2）∵$\frac{2}{\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}}$≤$\frac{2a+2b}{2}$，
∴$\frac{\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}}{2}$≥$\frac{1}{a+b}$．
同理$\frac{\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c}}{2}$≥$\frac{1}{a+c}$，$\frac{\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}}{2}$≥$\frac{1}{b+c}$，当且仅当a=b=c时等号成立
∴$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{2c}$≥$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$．

点评 本题考查了不等式的证明，作差和利用基本不等式时常用的方法，属于中档题．