Question

1．已知正整数a，b，c（a＞b＞c）为△ABC的三边长，且{$\frac{{2}^{a}}{15}$}={$\frac{{2}^{b}}{15}$}={$\frac{{2}^{c}}{15}$}，求a+b+c的最小值，其中{m}表示m的小数部分，即{m}=m-[m]（[m]表示不超过m的最大整数）．

Answer 1

分析 令a=1，2，3，4，5，…；求{$\frac{{2}^{a}}{15}$}的值，从而找到规律，从而设a=4n+1，化简{$\frac{{2}^{a}}{15}$}={$\frac{{2}^{4n+1}}{15}$}={$\frac{2•（15+1）^{n}}{15}$}，再利用二项式定理化简可得原式=$\frac{2}{15}$，再类比推导即可，从而列出求最小值．

解答 解：设a=4n+1，则
{$\frac{{2}^{a}}{15}$}={$\frac{{2}^{4n+1}}{15}$}
={$\frac{2•1{6}^{n}}{15}$}
={$\frac{2•（15+1）^{n}}{15}$}
={2•$\frac{{∁}_{n}^{0}1{5}^{n}+{∁}_{n}^{1}1{5}^{n-1}+…+{∁}_{n}^{n}}{15}$}
={$\frac{2}{15}$}=$\frac{2}{15}$，
即当{$\frac{{2}^{a}}{15}$}=$\frac{2}{15}$时，a=4n+1，n∈N；
同理可得，
 当{$\frac{{2}^{a}}{15}$}=$\frac{4}{15}$时，a=4n+2，n∈N；
 当{$\frac{{2}^{a}}{15}$}=$\frac{8}{15}$时，a=4n+3，n∈N；
 当{$\frac{{2}^{a}}{15}$}=$\frac{1}{15}$时，a=4n+4，n∈N；
故分别为1，5，9，13，…；
2，6，10，14，…；
3，7，11，15，…；
4，8，12，16，…；
又∵a，b，c（a＞b＞c）为△ABC的三边长，
∴a，b，c的最小值为13，9，5；
故a+b+c的最小值为13+9+5=27．

点评 本题考查了二项式定理的应用及数学归纳法的应用．